Merci pythagore...

Ce n’est pas vraiment une énigme que je vous propose, mais un problème de maths qui se promène dans les méandres de mon esprit :

Mis à part 3 et 4 (et leurs multiples), existe-il deux entiers dont la somme des carrés est égale au carré d’un autre entier.
Autrement dit : a² + b² = c² (a;b;c) etant des entiers

Ca marche avec 3² + 4² = 5² , mais existe-il d’autres couples …

Désolé par avance pour vos migraines…

En effet c'est bizarre et je ne m'étais jamais posé la question...

pour info :

La liste des carrés d’entiers est : 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729 ...

mdrrrrrrr ça me rappel ma premiere année de fac...j'etais jeune et insouciant à l'epoque lol
bon voyons voir : gheuuuuuuuuuuuu
c²= a²+b² ok
donc c appartient à N donc c² aussi (la carré d'un entier est un entier) et du coup a²+b² aussi...
bon je test ça sur la paier dès que j'ai 5 minutes


rapides tests :
20²+15²=25²
15²+36²=39²
20²+48²=52²

bon ben le oups c'est que c esont pour la plupart des mmultiples de 3 et 4...
donc plutôt mal barré lol

pas dur de trouver des sommes de carrés qui donnent d'autres carrés, suffit de mettre ce petit constat sous algorithme :

o²+1 = 1²
1²+3 = 2²
2²+5 = 3²
3²+7 = 4²
4²+9 = 5² (ooooooooooh, 9 est lui-même un carré !!!)
5²+11 = 6²
6²+13 = 7²
7²+15 = 8²
8²+17 = 9² (ça nous fait attendre...)
9²+19 = 10²
10² + 21 = 11²
11²+23 = 12²
12²+25 = 13² (Et voilà, notre 2ème carré !)

La démonstration de ce truc-là n'est absolument pas difficile (j'avais pas 12 balais quand j'ai découvert ce truc, avec la démonstration doit VRAIMENT être facile pisque j'avais du me la farcir ^^)

Ensuite, faut mettre ça sous la forme n²+(nauquelontfaitquelquechose)=(n+1)²

Suis trop con moi ^^ n²+2n+1 = (n+1)²; pour tout (2n+1) lui-même carré d'un entier, on a ça ^^
(c'était l'une de mes démonstrations, mais ça a plus de 10 ans ce truc o_O)

Et on peut jouer avec ça (niveau 4ème j'vous disais ^^) : n²+4n+2 = (n+2)²

....Et l'algorithmer elle-même :
n²+2an+a=(n+a)²

à vous d'en extraire tous les carrés successifs que vous voulez

Merci Psyyyyyyyyyy j'arrivais à la même conclusion (au lieu de bosser pffffffff j'ai une flemme moi...)

CCpictoris a écrit:

bon ben le oups c'est que c esont pour la plupart des mmultiples de 3 et 4...
donc plutôt mal barré lol

bin oui, c'est bien ça le probleme :p

J'y ai réfléchi doucement sous la douche :
N² est toujours un carré, par définition;
(n+a)² aussi ^^
(par "carré", j'entends, bien-sur, "carré d'un entier")
Reste donc à trouver l'ensemble des (2n+1)a carrés d'un nombre entier ^^
Le plus facile, c'est quand-même lorsque a=2n+1; mais on a aussi d'autres cas drôlement intéressants en décomposant a et n en le multiple de tous leurs nombres premiers de base (pour faire plus simple dans ma p'tite tête, je préfère revenir sous la forme "2an+a" carré) : il suffit alors d'ajuster a de manière à former un carré !
Fin les possibilités sont infinies, faudrait que je pose un algo pour ça...

y'a une ENORME faute dans mon premier message, celui de 10h, et personne ne l'a repérée o_O
(n+a)² = n²+2an+a² et non n²+2an+a !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Tout est à r'faire ^^

Pour le message au-dessus, il faut donc changer
(2n+1)a par
(2n+a)a

Ça nous change tout; car, à-moins d'avoir n=0, (2n+a) n'est que difficilement égal à a ^^

Par contre, le coup des facteurs de base marche bien mieux ici

Il "suffit" alors de prendre un carré, et de chercher ce en quoi il se divise

Par exemple, 36 : 36 = 2x2x3x3
a(2n+a) = 2x2x3x3
Mettons (premier cas) que a=3 :
3(3+2n) = 2x2x3x3
2n+3 = 2x2x3
2n+3 = 12
2n = 9
n=4,5

Bin, sans le savoir aucunement au début, je viens de trouver que 4,5²+6² = 7,5² !

Pour a=2 :
n=8
8²+6²=10²

Pour a=2x2=4 :
n=2,5
2,5²+6²=6,5²

Pour a=3x2=6
0²+6²=6² (suis décidément trop forte moi ^^)

Pour a=3x3 = 9
9(2n+9)=36
2n+9 = 4
2n = -5
n= -2,5

Et hop, on arrive même à trouver des cas négatifs

(-2,5)²+6²=(9-2,5)² = 6,5² (normal, s'le "reflet" du cas en 2x2)

Bref, voilà voilà ^^

2,5 et 4,5 ne sont pas des entiers...
je reflechissais ça me faisais penser aux nombres de Diophante (je crois) ...

(je déteste les maths... *sort un gun* )<br>

moi non plus mais c'est l'outil le plus puissant pour comprendre le monde avec la philosophie...

normal que j'ai mal au crâne en vous lisant ??? lol

J'ai arrêter de vous lire là... .. vous m'avez tué ptdrrr